SMF

Géométrie paramétrique des nombres sur un corps de nombres et extension des scalaires

Parametric geometry of numbers over a number field and extension of scalars

Anthony POËLS, Damien ROY
Géométrie paramétrique des nombres sur un corps de nombres et extension des scalaires
  • Consulter un extrait
  •  
                
  • Année : 2023
  • Fascicule : 2
  • Tome : 151
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11J13; 11H06, 11J82
  • Pages : 257-303
  • DOI : 10.24033/bsmf.2869

La géométrie paramétrique des nombres de Schmidt et Summerer étudie l'approximation rationnelle des points de $\mathbb{R}^n$.  Nous étendons cette théorie à un corps de nombres $K$ et à son complété $K_w$ en une place $w$ pour traiter de l'approximation sur $K$ des points de $K_w^n$. Nous en déduisons que les exposants d'approximation sur $\mathbb{Q}$ des points de $\mathbb{R}^n$ possèdent le même spectre que leurs généralisations sur $K$ dans $K_w^n$. Lorsque $w$ est de degré relatif égal à un au-dessus d'une place $\ell$ de $\mathbb{Q}$, nous relions aussi l'approximation sur $K$ d'un point $\xi$ de $K_w^n$ à celle sur $\mathbb{Q}$ du point $\Xi$ de $\mathbb{Q}_\ell^{nd}$ obtenu à partir de $\xi$ par extension des scalaires, où $d$ désigne le degré de $K$ sur $\mathbb{Q}$. En combinant cette observation à un résultat de P. Bel, nous parvenons ainsi à construire des courbes algébriques dans $\mathbb{R}^{3d}$ définies sur $\mathbb{Q}$, de degré $2d$, contenant des points qui sont très singuliers vis à vis de l'approximation rationnelle.

The parametric geometry of numbers of Schmidt and Summerer deals with rational approximation to points in $\mathbb{R}^n$.  We extend this theory to a number field $K$ and its completion $K_w$ at a place $w$ in order to treat approximation over $K$ to points in $K_w^n$.  As a consequence, we find that exponents of approximation over $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}^n$ have the same spectrum as their generalizations over $K$ in $K_w^n$.  When $w$ has relative degree 1 over a place $\ell$ of $\mathbb{Q}$, we further relate approximation over $K$ to a point $\xi$ in $K_w^n$, to approximation over $\mathbb{Q}$ to a point $\Xi$ in $\mathbb{Q}_\ell^{nd}$ obtained from $\xi$ by extension of scalars, where $d$ is the degree of $K$ over $\mathbb{Q}$. By combination with a result of P. Bel, this allows us to construct algebraic curves in $\mathbb{R}^{3d}$ defined over $\mathbb{Q}$, of degree $2d$, containing points that are very singular with respect to rational approximation.

Approximation diophantienne, approximation simultanée, exposants d'approximation, inégalités de transfert, nombres extrémaux, points rationnels, points singuliers, spectre d'exposants, corps de nombres, géométrie adélique des nombres, géométrie paramétrique des nombres, n-systèmes, extension des scalaires
Diophantine approximation, simultaneous approximation, exponents of approximation, transference inequalities, extremal numbers, rational points, singular points, spectrum of exponents, number fields, adelic geometry of numbers, parametric geometry of numbers, n-systems, extension of scalars

Électronique
Electronic
Prix public Public price 20.00 €
Prix membre Member price 14.00 €
Quantité
Quantity
- +