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Un contre-exemple sur la convergence multiple polynomiale sans commutativité

A counterexample on polynomial multiple convergence without commutativity

Wen HUANG, Song SHAO, Xiangdong YE
Un contre-exemple sur la convergence multiple polynomiale sans commutativité
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  • Année : 2024
  • Fascicule : 1
  • Tome : 152
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37A05, 37A30
  • Pages : 149-168
  • DOI : 10.24033/bsmf.2886

On montre que pour les polynômes $p_1, p_2\in {\mathbb Z}[t]$ avec $\deg p_1, \deg p_2\ge 5$ il existe un espace de probabilité $(X, {\mathcal X}, \mu)$, deux mesures ergodiques préservant les transformations $T,S$ agissant sur $(X,{\mathcal X}, \mu)$ avec $h_\mu(X,T)=h_\mu(X,S)=0$, et $f, g \in L^\infty(X,\mu)$ tel que la limite $$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f(T^{p_1(n)}x)g(S^{p_2(n)}x)$$ n'existe pas dans $L^2(X,\mu)$, ce qui répond en quelque sorte à un problème de Frantzikinakis et Host.

It is shown that for polynomials $p_1, p_2\in {\mathbb Z}[t]$ with $\deg p_1, \deg p_2\ge 5$ that there exist a probability space $(X,{\mathcal X},\mu)$, two ergodic measure preserving transformations $T,S$ acting on $(X,{\mathcal X}, \mu)$ with $h_\mu(X,T)=h_\mu(X,S)=0$, and $f, g \in L^\infty(X,\mu)$ such that the limit $$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f(T^{p_1(n)}x)g(S^{p_2(n)}x)$$ does not exist in $L^2(X,\mu)$, which in some sense answers a problem by Frantzikinakis and Host.

Convergence multiple polynomiale, le théorème central limite local, entropie nulle
Polynomial multiple convergence, the local central limit theorem, zero entropy

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