Nous développons une nouvelle méthode pour démontrer l'indépendance algébrique de $G$-fonctions. Notre approche repose sur l'observation suivante : une $G$-fonction est toujours solution d'une équation différentielle linéaire mais elle est aussi parfois solution d'une infinité d'équations aux différences linéaires associées au Frobenius que l'on obtient par réduction modulo des idéaux premiers.
Lorsque ces équations aux différences linéaires sont d'ordre un, les coefficients de la $G$-fonction correspondante satisfont des congruences rappelant un théorème classique de Lucas sur les coefficients binomiaux. Nous utilisons cette propriété pour en déduire un critère d'indépendance algébrique "à la Kolchin". Nous montrons que ce critère est pertinent en démontrant que de nombreuses familles classiques de $G$-fonctions satisfont des congruences "à la Lucas".