Les catégories de fusion Haagerup Étendues
The Extended Haagerup fusion categories
Anglais
Nous montrons qu'il existe exactement quatre catégories de fusion dans la classe d'équivalence au sens de Morita du sous-facteur "Extended Haagerup" (𝓔𝓗), et unicité de l'équivalence entre chaque paire. Le sous-facteur 𝓔𝓗 correspond à l'équivalence de Morita entre 𝓔𝓗$_1$ et 𝓔𝓗$_2$. Les nouvelles catégories 𝓔𝓗$_3$ et 𝓔𝓗$_4$ donnent de nouveaux exemples de sous-facteurs exotiques. Les catégories 𝓔𝓗 sont les seules catégories de fusion connues qui ne sont pas reliées à un groupe (quantique) ou à une catégorie quadratique d'Izumi.
Pour construire 𝓔𝓗$_3$ et 𝓔𝓗$_4$, nous élaborons une construction générale de catégories de fusion au sein d'une classe d'équivalence de Morita d'un sous-facteur. Nous montrons que les plongements de l'algèbre planaire de sous-facteurs $P_\bullet$ dans les algèbres planaires de graphe sont en équivalence avec les catégories de modules de pivot $\rm C^*$ sur $P_\bullet$. Nous construisons 𝓔𝓗$_3$ et 𝓔𝓗$_4$ en plongeant l'algèbre planaire 𝓔𝓗 dans les algèbres planaires de deux nouveaux graphes. Cette technique répond à une question de Jones de longue date : quelle algèbre planaire de graphe contient une algèbre planaire de sous-facteur donnée?