Une célèbre conjecture d'Erdös affirme que si la somme des inverses d'un sous-ensemble $S$ des entiers naturels est divergente, alors contient des progressions arithmétiques de longueur arbitraire. Si l'on peut trouver, pour tout entier $k$, des bornes efficaces sur la taille du plus grand ensemble contenu dans les $N$ premiers entiers et ne possédant pas de progression arithmétique de longueur $k$, la conjecture de Erdös s'ensuivrait. Il y a donc une attention considérable au problème de trouver les meilleures bornes pour la taille des ensembles sans progression arithmétique de longueur fixée. Dans cet exposé, je ferai le point sur les avancées récentes de Bloom-Sisask sur ce problème pour les progressions de longueur trois et de Croot-Lev-Pach et Ellenberg-Gijswijt sur le problème analogue dans $\mathbf{F}_3^n$ (le "cap set problem"). Ces deux avancées reposent sur des techniques très différentes - des méthodes de Fourier analytiques et une version de la méthode polynomiale, respectivement - que je présenterai au cours de l'exposé.