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Exposé Bourbaki 1196 : Progrès récents sur la taille des ensembles sans progression arithmétique de longueur trois (d'après Bloom et Sisask, Croot, Lev et Pach, et Ellenberg et Gijswijt)

Exposé Bourbaki 1196 : Recent progress on bounds for sets with no three terms in arithmetic progression (after Bloom and Sisask, Croot, Lev, and Pach, and Ellenberg and Gijswijt)

Sarah PELUSE
Exposé Bourbaki 1196 : Progrès récents sur la taille des ensembles sans progression arithmétique de longueur trois (d'après Bloom et Sisask, Croot, Lev et Pach, et Ellenberg et Gijswijt)
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  • Année : 2022
  • Tome : 438
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11B30
  • Pages : 547-581
  • DOI : 10.24033/ast.1197

Une célèbre conjecture d'Erdös affirme que si la somme des inverses d'un sous-ensemble $S$ des entiers naturels est divergente, alors contient des progressions arithmétiques de longueur arbitraire. Si l'on peut trouver, pour tout entier $k$, des bornes efficaces sur la taille du plus grand ensemble contenu dans les $N$ premiers entiers et ne possédant pas de progression arithmétique de longueur $k$, la conjecture de Erdös s'ensuivrait. Il y a donc une attention considérable au problème de trouver les meilleures bornes pour la taille des ensembles sans progression arithmétique de longueur fixée. Dans cet exposé, je ferai le point sur les avancées récentes de Bloom-Sisask sur ce problème pour les progressions de longueur trois et de Croot-Lev-Pach et Ellenberg-Gijswijt sur le problème analogue dans $\mathbf{F}_3^n$ (le "cap set problem"). Ces deux avancées reposent sur des techniques très différentes - des méthodes de Fourier analytiques et une version de la méthode polynomiale, respectivement - que je présenterai au cours de l'exposé.

A famous conjecture of Erdös states that if $S$ is a subset of the positive integers and the sum of the reciprocals of elements of $S$ diverges, then $S$ contains arbitrarily long arithmetic progressions. If one could prove, for each positive integer $k$, sufficiently good bounds for the size of the largest subset of the first $N$ integers lacking $k$-term arithmetic progressions, then Erdös's conjecture would follow. There is thus great interest in the problem of proving the strongest possible bounds for sets lacking arithmetic progressions of a fixed length. In this talk, I will survey the recent advances of Bloom-Sisask on this problem for length three progressions and of Croot-Lev-Pach and Ellenberg-Gijswijt on the analogous problem in $\mathbf{F}_3^n$ (the "cap set problem"). These two advances rely on very different techniques - Fourier analytic methods and a version of the polynomial method, respectively - and I will give an overview of both.

Progression arithmétiques de longueur trois, théorème de Roth
Three-term arithmetic progressions, Roth's theorem

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