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Formule du caractère de Connes pour triplets spectraux localement compacts

The Connes character formula for locally compact spectral triples

Fedor SUKOCHEV and Dmitriy ZANIN
Formule du caractère de Connes pour triplets spectraux localement compacts
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  • Année : 2023
  • Tome : 445
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 83C05, 35Q75, 58J45 83C05, 35S30, 58J40
  • Nb. de pages : 150
  • ISBN : 978-2-85629-982-1
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1204

Un outil fondamental en géométrie non commutative est la formule des caractères de Connes. Cette formule est utilisée de manière essentielle dans les applications de la géométrie non commutative à la théorie de l'indice et à la caractérisation spectrale des variétés.
Un espace non compact est modélisé en géométrie non commutative par un triplet spectral sans unité. Notre objectif est d'établir la formule des caractères de Connes pour les triplets spectraux sans unité. Ceci est nettement plus difficile que dans le cas unitaire et nous y parvenons grâce à l'utilisation de techniques récentes d'intégration dites à double opérateur. Auparavant, seules des extensions partielles de la formule des caractère de Connes au cas non unitaire étaient connues.
Dans la preuve, nous établissons deux autres résultats importants en géométrie non commutative : une formule asymptotique pour le semi-groupe de chaleur d'un triplet spectral sans unité, et l'analyticité de la fonction $\zeta$ associée.
Nous exigeons certaines hypothèses sur le triplet spectral sous-jacent que nous pouvons vérifier pour tout triplet spectral associé à une variétés riemannienne complète ou à un plan de Moyal.

A fundamental tool in noncommutative geometry is Connes’ character formula. This formula is used in an essential way in the applications of noncommutative geometry to index theory and to the spectral characterisation of manifolds. 
A non-compact space is modeled in noncommutative geometry by a non-unital spectral triple. Our aim is to establish the Connes character formula for non-unital spectral triples. This is significantly more difficult than in the unital case and we achieve it with the use of recently developed double operator integration techniques. Previously, only partial extensions of Connes’ character formula to the non-unital case were known.
In the course of the proof, we establish two more results of importance in noncommutative geometry: an asymptotic for the heat semigroup of a non-unital spectral triple, and the analyticity of the associated $ \zeta$-function.
We require certain assumptions on the underlying spectral triple, and we verify these assumptions in the case of spectral triples associated to arbitrary complete Riemannian manifolds and also in the case of Moyal planes.

Trace singulière, fonction zêta, semi-groupe de la chaleur, cohomologie de Hochschild, caractère de Chern
Singular traces, $ \zeta$-function, heat semigroup, Hochschild cohomology, Chern character

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