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Parametrix pour l'équation des ondes sur un espace-temps peu régulier : IV. Contrôle du terme d'erreur

Parametrix for wave equations on a rough background IV: Control of the error term

Jérémie SZEFTEL
Parametrix pour l'équation des ondes sur un espace-temps peu régulier : IV. Contrôle du terme d'erreur
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  • Année : 2023
  • Tome : 444
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 83C05, 35Q75, 58J45 83C05, 35S30, 58J40
  • Nb. de pages : viii+314
  • ISBN : 978-2-85629-978-4
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1203

Cet ouvrage est dédié à la construction et au contrôle d'une paramétrix pour l'équation des ondes homogène $\square_{\mathbf g} \phi=0$, où ${\mathbf g}$ est une métrique peu régulière satisfaisant les équations d'Einstein dans le vide. Le contrôle d'une telle paramétrix ainsi que du terme d'erreur associé lorsque l'on suppose seulement des bornes $L^2$ sur le tenseur de courbure ${\mathbf R}$ de ${\mathbf g}$ est une étape cruciale de la preuve de la conjecture de courbure $L^2$, conjecture résolue conjointement avec S. Klainerman et I. Rodnianski. Plus généralement, cet ouvrage concerne le contrôle de l'équation eikonale sur un espace-temps peu régulier et  la dérivation de bornes $L^2$ pour des opérateurs intégraux de Fourier sur des variétés avec une phase et un symbole peu réguliers, et possède de ce point de vue un intérêt propre.

This book is dedicated to the construction and the control of a parametrix to the homogeneous wave equation $ \square_{\mathbf g} \phi=0$, where $ {\mathbf g}$ is a rough metric satisfying the Einstein vacuum equations. Controlling such a parametrix as well as its error term when one only assumes $ L^2$ bounds on the curvature tensor $ {\mathbf R}$ of $ {\mathbf g}$ is a major step of the proof of the bounded $ L^2$ curvature conjecture, conjecture solved jointly with S.  Klainerman and I. Rodnianski. On a more general level, this book deals with the control of the eikonal equation on a rough background, and with the  derivation of $ L^2$ bounds for Fourier integral operators on manifolds with rough phases and symbols, and as such is also of independent interest.

Équations d’Einstein, équation des ondes, flot par courbure moyenne, solutions peu régulières, paramétrix, opérateur intégral de Fourier
Einstein equations, wave equation, mean curvature flow, rough solutions, parametrix, Fourier integral operator

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