Un outil fondamental en géométrie non commutative est la formule des caractères de Connes. Cette formule est utilisée de manière essentielle dans les applications de la géométrie non commutative à la théorie de l'indice et à la caractérisation spectrale des variétés.
Un espace non compact est modélisé en géométrie non commutative par un triplet spectral sans unité. Notre objectif est d'établir la formule des caractères de Connes pour les triplets spectraux sans unité. Ceci est nettement plus difficile que dans le cas unitaire et nous y parvenons grâce à l'utilisation de techniques récentes d'intégration dites à double opérateur. Auparavant, seules des extensions partielles de la formule des caractère de Connes au cas non unitaire étaient connues.
Dans la preuve, nous établissons deux autres résultats importants en géométrie non commutative : une formule asymptotique pour le semi-groupe de chaleur d'un triplet spectral sans unité, et l'analyticité de la fonction $\zeta$ associée.
Nous exigeons certaines hypothèses sur le triplet spectral sous-jacent que nous pouvons vérifier pour tout triplet spectral associé à une variétés riemannienne complète ou à un plan de Moyal.