Nous développons une méthode pour montrer que certains groupes (discrets) peuvent être plongés dans un pro-$p$-groupe libre. Nous montrons en particulier  que tout sous-groupe de type fini d'un $Q$-groupe libre peut être plongé dans un pro-$p$-groupe libre pour presque tous les premiers $p$. Cela résout un ancien problème soulevé par G. Baumslag: les $Q$-groupes libres sont  résiduellement nilpotents sans torsion.