Nous prouvons que la $\infty$-catégorie des surjections d'anneaux animés est projectivement générée, introduisons et étudions la notion de PD-paires animées - des surjections d'anneaux animés avec une PD-structure "dérivée''. Cela nous permet de généraliser des résultats classiques à des situations non plates et non de type fini.

En utilisant les PD-paires animées, nous développons plusieurs approches de la cohomologie cristalline dérivée et établissons des théorèmes de comparaison. En tant qu'application, nous généralisons la comparaison entre la cohomologie cristalline dérivée et classique à partir de schémas syntomiques (affines) (due à Bhatt) à des schémas quasisyntomiques.

Nous développons également un analogue animé non complété des prismes et des enveloppes prismatiques. Nous prouvons une variante de la comparaison de Hodge-Tate pour les enveloppes prismatiques animées, à partir de laquelle nous déduisons un résultat sur le recouvrement plat de l'objet final pour les schémas quasisyntomiques, qui généralise plusieurs résultats connus sous des conditions de lissité et de finitude.