Notre connaissance de la cohomologie singulière de l’espace de modules $\mathcal{M}_g$ des courbes lisses de genre $g$ est lacunaire. Pire encore, jusqu’à très récemment, les résultats à notre disposition semblaient pointer dans des directions contradictoires : les groupes de cohomologie de $\mathcal{M}_g$ sont nuls en degré supérieur à $4g-5$, de dimension au plus exponentielle en $\sqrt{g}$ en degré inférieur à $2g/3$, mais sa caractéristique d’Euler croît plus vite qu’une exponentielle en $g$. Nous présentons des travaux récents qui permettent d’exhiber de nouveaux exemples de groupes non nuls dans la cohomologie de $\mathcal{M}_g$, et même certaines familles, pour des degrés de la forme $4g-k$, avec $k$ fixé, dont la dimension présente une croissance au moins exponentielle en $g$. La démonstration repose sur des liens précis établis entre la cohomologie de l’espace de modules des courbes et celle de variantes de nature combinatoire : espace de modules des courbes tropicales (graphes métriques pondérés) et complexes de graphes de M. Kontsevich.