La théorie de Hodge non abélienne donne un difféomorphisme entre l'espace des modules des fibrés de Higgs sur une courbe projective lisse complexe et la variété de caractères des représentations (tordues) de son groupe fondamental. La conjecture $P = W$, due à de Cataldo, Hausel et Migliorini, prédit que via l'isomorphisme correspondant sur la cohomologie, la filtration perverse pour la fibration de Hitchin sur l'espace des modules des fibrés de Higgs est identifiée avec la filtration par le poids de la structure de Hodge mixte sur la variété des caractères.

Nous discuterons deux démonstrations récentes de la conjecture $P = W$ due à Maulik-Shen et Hausel-Mellit-Minets-Schiffmann. Puisque la cohomologie de l'espace des modules des fibrés de Higgs est engendrée par les classes tautologiques (Markman) que leurs poids sur la variété des caractères sont connus (Shende), la conjecture $P = W$ se réduit à décrire l'interaction entre les classes tautologiques et la filtration perverse. La démonstration de Maulik-Shen combine des théorèmes de support pour les fibrations de Hitchin méromorphes (d'après Ngô et Chaudouard-Laumon), des techniques d'annulation de cycles et la théorie de Springer globale due à Yun, qui leur permet de déterminer la perversité forte des classes tautologiques en les tirant en arrière sur un espace de modules de fibrés de Higgs paraboliques. La démonstration de Hausel-Mellit-Minets-Schiffmann montre que les filtrations $P$ et $W$ coïncident avec une troisième filtration provenant de la théorie des  représentations d'un  $\mathfrak{sl}_2$-triplet sur une algèbre de Lie de champs de vecteurs Hamiltoniens polynomiaux, qui agit sur la cohomologie par l'intermédiaire d'opérateurs de Hecke et de produits cup par des classes tautologiques