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Exposé Bourbaki 1214 : Cohomologie des espaces de modules de courbes via la géométrie tropicale et les complexes de graphes (d'après M. Chan, S. Galatius et S. Payne)

Exposé Bourbaki 1214 : Cohomology of moduli spaces of curves via tropical geometry and graph complexes (after M. Chan, S. Galatius, and S. Payne)

Jérôme POINEAU
Exposé Bourbaki 1214 : Cohomologie des espaces de modules de courbes $via$ la géométrie tropicale et les complexes de graphes (d'après M. Chan, S. Galatius et S. Payne)
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  • Année : 2024
  • Tome : 454
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14H10, 14T20
  • Pages : 203-259
  • DOI : 10.24033/ast.1231

Notre connaissance de la cohomologie singulière de l’espace de modules Mg des courbes lisses de genre g est lacunaire. Pire encore, jusqu’à très récemment, les résultats à notre disposition semblaient pointer dans des directions contradictoires : les groupes de cohomologie de Mg sont nuls en degré supérieur à 4g5, de dimension au plus exponentielle en g en degré inférieur à 2g/3, mais sa caractéristique d’Euler croît plus vite qu’une exponentielle en g. Nous présentons des travaux récents qui permettent d’exhiber de nouveaux exemples de groupes non nuls dans la cohomologie de Mg, et même certaines familles, pour des degrés de la forme 4gk, avec k fixé, dont la dimension présente une croissance au moins exponentielle en g. La démonstration repose sur des liens précis établis entre la cohomologie de l’espace de modules des courbes et celle de variantes de nature combinatoire : espace de modules des courbes tropicales (graphes métriques pondérés) et complexes de graphes de M. Kontsevich.

Our knowledge of the singular cohomology of the moduli space Mg of smooth curves of genus g is incomplete. Even worse, until very recently, the results which were available pointed in contradictory directions: the cohomology groups of Mg are zero in degree greater than or equal to 4g5, of dimension bounded by an exponential in g in degree less than 2g/3, but its Euler characteristic grows faster than an exponential in g. We present recent works which exhibit new examples of non-trivial cohomology groups of Mg, and even some families, for degrees of the form 4gk, with k fixed, whose dimension shows at least exponential growth in g. The proof is based on precise relations between the cohomology of the moduli space of curves and that of variants of combinatorial nature: moduli space of tropical curves (weighted metric graphs) and graph complexes of M. Kontsevich.

Espaces de modules de courbes, courbes tropicales, complexes de graphes
Moduli spaces of curves, tropical curves, graph complexes

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