Fresnel et de Mathan ont montré que la transformation de Fourier $p$-adique est surjective. Nous réinterprétons leur résultat en termes de frontières analytiques, puis nous l'étendons au delà du cas cyclotomique. Nous donnons aussi des applications de leur résultat à la théorie de Fourier $p$-adique de Schneider et Teitelbaum, en particulier aux développements de Mahler généralisés et à la géométrie de la variété des caractères.