Nous montrons un théorème de type Livsic positif pour les $C^2$-difféomorphismes Anosov $f$ sur une variété compacte sans bord $M$ et des observables $A$ höldériennes. Étant donnée $A:M\rightarrow \mathbb {R}$, $\alpha$-höldérienne, nous montrons qu'il existe $V:M\rightarrow \mathbb {R}$, $\beta$-höldérienne, $\beta <\alpha$, et une mesure de probabilité $\mu$, $f$-invariante, telles que $A\leq V\circ f-V + \int \! A\,d\mu .$ Nous appliquons cette inégalité pour montrer l'existence d'un ouvert $\mathcal {G}_\beta$ de fonctions $\beta$-höldériennes, $\beta$ petit, qui admet une unique mesure maximisante supportée par une orbite périodique. De plus, l'adhérence de $\mathcal {G}_\beta$ dans la topologie $\beta$-höldérienne contient toutes les fonctions $\alpha$-höldériennes, avec $\alpha$ proche de $1$.