Ce deuxième volume regroupe les chapitres 3 et 4 de notre étude de la fonctorialité des catégories homotopiques stables des schémas. Dans le volume précédent, nous nous sommes concentrés sur les six opérations $f^*$, $f_*$, $f_!$, $f^!$, $-\otimes -$ et $\Homint (-,-)$ et leurs propriétés de constructibilité et d'exactitude. On commence ce volume par la construction des foncteurs motifs proches $\Psi _f$, analogues motiviques des foncteurs cycles proches bien connus en cohomologie étale. On étend ensuite le formalisme des cycles évanescents à ces foncteurs. En particulier, on calcule l'effet du foncteur $\Psi _f$ dans le cas où $f$ est à réduction semi-stable. On montre aussi que les $\Psi _f$ préservent les motifs constructibles, qu'ils commutent au produit tensoriel extérieur et aux foncteurs de dualité. On définit ensuite un opérateur de monodromie et on montre qu'il est nilpotent. Le dernier chapitre, de nature différente des trois autres, reprend en détail la construction de la catégorie homotopique stable des $S$-schémas.