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Exposé Bourbaki 978 : Mesures semi-classiques et entropie

Exposé Bourbaki 978 : Semi-classical measures and entropy

Yves COLIN DE VERDIÈRE
Exposé Bourbaki 978 : Mesures semi-classiques et entropie
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  • Année : 2008
  • Tome : 317
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37D20, 37D40, 58J40, 58J50.
  • Pages : 393-414
  • DOI : 10.24033/ast.766

Soient $X$ une variété riemannienne à courbure $<0$ et $(\phi _j)_{j\in {\bf N}}$ une base orthonormée de fonctions propres du laplacien sur $X$. Une « mesure semi-classique » est une limite faible d'une suite de « mesures de Wigner » des $\phi _j$. Le résultat principal est une minoration de l'entropie de Kolmogorov-Sinaï de telles mesures qui implique la non-existence de suites de fonctions propres qui se concentrent sur une réunion finie de géodésiques périodiques.

Let $X$ be a compact Riemannian manifold with $<0$ curvature and $(\phi _j)_{j\in {\bf N}}$ an orthonormal basis of Laplace eigenfunctions on $X$. A “semi-classical measure” is any weak limit of a sequence of Wigner measures of the $\phi _j$'s. The main result is a lower bound for the Kolmogorov-Sinaï entropy of such measures which implies that there do not exist sequences of eigenfunctions concentrating on a finite union of closed geodesics.

Entropy, semi- ics, geodesics, eigenfunctions, Laplace operator, Wigner measure.
Entropie, semi- ique, géodésiques, fonctions propres, laplacien, mesures de Wigner.

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