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Exposé Bourbaki 977 : La conjecture de Sato-Tate

Exposé Bourbaki 977 : The Sato-Tate conjecture

Henri CARAYOL
Exposé Bourbaki 977 : La conjecture de Sato-Tate
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  • Année : 2008
  • Tome : 317
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11F80, 11G05, 11G35
  • Pages : 345-392
  • DOI : 10.24033/ast.765

Soit E une courbe elliptique, sans multiplication complexe, définie sur un corps de nombres F. À chaque place v de FE a bonne réduction correspondent deux valeurs propres conjuguées du Frobenius, dont l'une admet un argument θv[0,π]. La conjecture de Sato-Tate prédit comment doivent être répartis les θv dans [0,π]. Cette conjecture est maintenant prouvée pour F totalement réel et E admettant, en au moins une place, une réduction de type multiplicatif. La preuve repose sur une extension des méthodes de Taylor-Wiles (enrichies d'idées entièrement nouvelles) au cas des groupes unitaires et elle fait aussi usage d'une famille particulière d'hypersurfaces projectives.

Let E be an elliptic curve, without complex multiplication and defined over some number field F. To each finite place v of F where E has good reduction there correspond two conjugate Frobenius eigenvalues, and one of those has argument θv[0,π]. The Sato-Tate conjecture predicts how the θv are distributed in [0,π]. This conjecture is now proved when F is totally real and there exists a finite place of F where E has multiplicative reduction. The proof relies on an extension of Taylor–Wiles methods (enriched with some entierely new ideas) to the case of unitary groups ; it also uses a particular family of projective hypersurfaces.

Représentation automorphe, représentation galoisienne, courbe elliptique.
Automorphic representation, Galois representation, elliptic curve.

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