Soit $f:X\to S$ un morphisme projectif de Cohen-Macaulay de dimension relative pure $n$ entre schémas de type fini sur un corps algébriquement clos. Nous donnons la définition d'un faisceau $\omega _{{X/S}}$-quadratique (resp. $\omega _{{X/S}}$-symplectique) de dimension $m$ sur les fibres de $f$ et montrons que le théorème d'invariance mod $2$ de Atiyah-Rees, Mumford et Kempf reste valable dans ce cadre plus général. Ensuite, nous l'appliquons à la variété de modules des faisceaux quadratiques semi-stables $\mathrm {Quad}_{X/S}(r)$ relative à un morphisme de Gorenstein de dimension $1$.