Le degré d'une courbe $C$ contenue dans une variété abélienne polarisée $(X,\lambda )$ est l'entier $d=C\cdot \lambda $. Lorsque $C$ est irréductible et engendre $X$, on obtient une minoration de $d$ en fonction de $n$ et du degré de la polarisation $\lambda $. Le plus petit degré possible est $d=n$ et n'est atteint que pour une courbe lisse dans sa jacobienne avec sa polarisation principale canonique (Ran, Collino). On étudie les cas $d=n+1$ et $d=n+2$. Lorsque $X$ est simple, on montre de plus, en utilisant des résultats de Smyth sur la trace des entiers algébriques totalement positifs, que si $d\leq 1,7719\, n$, alors $C$ est lisse et $X$ est isomorphe à sa jacobienne. Nous obtenons aussi une borne supérieure pour le genre géométrique de $C$ en fonction de son degré.