SMF

Caractérisation d'une solution optimale au problème de Monge-Kantorovitch

Characterization of an optimal solution to Monge-Kantorovitch's problem

Taoufiq Abdellaoui, Henri Heinich
Caractérisation d'une solution optimale au problème de Monge-Kantorovitch
     
                
  • Année : 1999
  • Fascicule : 3
  • Tome : 127
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 60~B~05, 60~B~11, 90~C~08
  • Pages : 429-443
  • DOI : 10.24033/bsmf.2355
Soient $P$ et $Q$ deux probabilités définies sur la tribu borélienne d'un espace métrique séparable complet $M$ et $c(x,y)$ une fonction continue de $M\times M$ dans $\mathbb {R}^+.$ On considère la fonctionnelle $ d_{c}(P,Q)=\inf \{E ({c}(X,Y) ); X \hbox { \rm de loi } P, \, Y \hbox { \rm de loi } Q \}. $ Lorsque $P$ est « $c$-continue »et $Q$ discrète, nous montrons qu'un couple $(X,Y)$ réalise le minimum si et seulement si $Y=f(X)$ où $f$ est une fonction optimale pour le couple $(P,Q).$ Nous établissons l'unicité de $f$ et nous montrons que la condition de $c$-cyclique monotonie $P$-p.s. est nécessaire et suffisante pour que $f$ soit optimale. Pour un espace de Hilbert et $ c(x,y)=\theta (x-y),\theta $ strictement convexe, nous obtenons, lorsque $P$ vérifie une condition (*) et $Q$ quelconque, l'existence, l'unicité $P$-p.s., la $c$-cyclique monotonie $P$-p.s. et l'expression de la fonction optimale.
Let $P$ and $Q$ be two probabilities on a complete separable metric space $M$ and $c$ a continuous function on $ M\times M.$ We consider $ d_{c}(P,Q)=\inf \{E ({c}(X,Y) ); X \hbox { \rm has the law } P, \, Y \hbox { \rm has the law } Q \}. $ We show that, when $P$ is “$c$-nonatomic” and $Q$ atomic, a pair $(X,Y)$ verifies the relation $d_{{c}}(P,Q)= E ({c} (X,Y) )$ if and only if $Y=f(X)$, where $f$ is the unique optimal function for $(P,Q)$. We also prove that the condition of $c$-cyclical monotonicity is necessary and sufficient for $f$ to be optimal. For a Hilbert space we suppose that $c(x,y)=\theta (x-y)$, $\theta $ strictly convexe and $P$ verifies a condition (*). We give the expression of the unique optimal function $f$ for $(P,Q)$.
problème de Monge-Kantorovitch, probabilités à marginales fixées, cyclique monotonie, sous-différentiel


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