Nous démontrons qu'une sous-variété réelle, compacte, orientée et lisse $\Gamma $ de dimension $2p-1\geq 3$ de $\mathbb {CP}^n$ est le bord d'un sous-ensemble analytique s'il existe une variété réelle $V\subset \mathrm {G}(n-p+2,n+1)$ de codimension $1$ satisfaisant les conditions suivantes pour tout $\nu \in V$ : 1) la réunion des $\mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ pour $\nu \in V$ recouvre un ouvert dense de $\Gamma $ ; 2) le $(n-p+1)$-plan $\mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ intersecte $\Gamma $ transversalement ; 3) $\Gamma \cap \mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ est le bord d'une surface de Riemann dans $\mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ ; 4) aucun ouvert non vide de $\Gamma \cap \mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ n'est réel analytique. Pour la preuve, nous utilisons et démontrons le résultat suivant : pour toute surface de Riemann à bord rectifiable (éventuellement réductible et singulière) $S$ d'une variété complexe, $\overline S $ admet un système fondamental de voisinages de Stein. Il existe $\Gamma $ réelle algébrique vérifiant 1), 2), 3), qui n'est pas bord d'un sous-ensemble analytique.