SMF

Divisibilité locale-globale des points rationnels en certains groupes algébriques commutatifs

Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups

Roberto Dvornicich, Umberto Zannier
Divisibilité locale-globale des points rationnels en certains groupes algébriques commutatifs
     
                
  • Année : 2001
  • Fascicule : 3
  • Tome : 129
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14G05
  • Pages : 317-338
  • DOI : 10.24033/bsmf.2399
Pour un groupe algébrique commutatif $\mathcal A$, défini sur un corps de nombres $k$, on se pose la question suivante : étant donnés un entier $r$ strictement positif et un élément $P$ de ${\mathcal A}(k)$, on suppose que pour tout premier $v$ de $k$, à l'exception d'au plus d'un nombre fini, il existe un élément $D_v$ de ${\mathcal A}(k_v)$ avec $P=rD_v$. Peut-on en déduire l'existence d'un élément $D$ de ${\mathcal A}(k)$ tel que l'on ait $P=rD$ ? Une réponse complète à cette question est bien connue dans le cas où $\mathcal A$ est le groupe multiplicatif ${\mathbb G}_m$. Nous étudions d'autres cas particuliers. Nous obtenons notamment une réponse affirmative dans le cas où $r$ est un nombre premier et où $\mathcal A$ est, soit une courbe elliptique, soit un tore de dimension petite par rapport à $r$. En outre, nous montrons par un exemple que, dans le cas où $\mathcal A$ est un tore de dimension arbitraire, la réponse peut être négative, même si $r$ est un nombre premier.
Let $\mathcal {A}$ be a commutative algebraic group defined over a number field $k$. We consider the following question : Let $r$ be a positive integer and let $P\in \mathcal {A}(k)$. Suppose that for all but a finite number of primes $v$ of $k$, we have $P=rD_v$ for some $D_v\in \mathcal {A}(k_v)$. Can one conclude that there exists $D\in \mathcal {A}(k)$ such that $P=rD$ ? A complete answer for the case of the multiplicative group ${\mathbb G}_m$ is ical. We study other instances and in particular obtain an affirmative answer when $r$ is a prime and $\mathcal {A}$ is either an elliptic curve or a torus of small dimension with respect to $r$. Without restriction on the dimension of a torus, we produce an example showing that the answer can be negative even when $r$ is a prime.
Problèmes de rationalité, points rationnels
Rationality questions, rational points


Des problèmes avec le téléchargement?Des problèmes avec le téléchargement?
Informez-nous de tout problème que vous avez...