SMF

Sur certains pseudogroupes de biholomorphismes locaux de $(\mathbb C^n,0)$

On certain pseudogroups of germs of biholomorphisms of $(\mathbb C^n,0)$

Michel Belliart
Sur certains pseudogroupes de biholomorphismes locaux de $(\mathbb C^n,0)$
     
                
  • Année : 2001
  • Fascicule : 2
  • Tome : 129
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 58H05, 58H15
  • Pages : 259-284
  • DOI : 10.24033/bsmf.2397
On montre que si $\Gamma $ est un pseudogroupe de transformations locales holomorphes de $\mathbb C^n$ en zéro contenant deux éléments “en position générale” et proches de l'identité, alors : 1) L'action de $\Gamma $ sur le fibré des jets d'ordre infini sur un petit voisinage épointé $\mathcal B$ de $0$ est minimale (c'est-à-dire que si $z_0,z_1\in \mathcal B$ et si $\phi :z_0\to z_1$ est un germe de biholomorphisme alors il existe une suite $\gamma _n\in \Gamma $ qui converge vers $\phi $ uniformément au voisinage de $z_0$). 2) $\Gamma $ ne préserve aucune structure géométrique au voisinage de $0$ (c'est une conséquence triviale du point 1). 3) Si un autre pseudogroupe holomorphe est topologiquement conjugué à $\Gamma $ alors la conjugaison est ou bien holomorphe, ou bien antiholomorphe. L'ingrédient principal de la preuve est la construction, pour tout pseudogroupe $\Gamma $, d'un faisceau $\mathfrak {g}_\Gamma $ d'algèbres de Lie sur $\mathbb C^n$ dans lequel $\Gamma $ est “dense” en un sens naturel. Ensuite, on prouve que si $\Gamma $ satisfait une hypothèse naturelle alors $\mathfrak {g}_\Gamma (U)$ contient tout champ de vecteur holomorphe sur $U$, pour tout $U$ ouvert dans $\mathcal B$ où $\mathcal B$ est le complémentaire (ouvert) de $0$ dans son bassin d'attraction.
Let $\Gamma $ be a pseudogroup of local holomorphic transformations of $\mathbb C^n$ fixing zero. We study the dynamics of $\Gamma $. We show that if $\Gamma $ contains two elements whose 2-jets are in “general position” and sufficiently near the identity, then : 1) $\Gamma $ acts minimally on the bundle of infinite-order jets on some pointed neighborhood $\mathcal B$ of $0$ (that is to say : for any $z_0,z_1\in \mathcal B$ and any germ $\phi :z_0\to z_1$ of biholomorphism, there exists a sequence $\gamma _n\in \Gamma $ which converges to $\phi $ uniformly on some neighborhood of $z_0$). 2) $\Gamma $ preserves no geometric structure near $0$ (this is a trivial consequence of 1). 3) For any holomorphic pseudogroup topologically conjugate to $\Gamma $, the germ of conjugacy at $0$ is either holomorphic or antiholomorphic. The main feature of the proof is to attach to any pseudogroup $\Gamma $ a sheaf $\mathfrak {g}_\Gamma $ of Lie algebrae on $\mathbb C^n$ such that $\Gamma $ is “dense” in $\mathfrak {g}_\Gamma $ in a natural sense. Then we prove that under some natural assumption on $\Gamma $, $\mathfrak {g}_\Gamma (U)$ must be the sheaf of all holomorphic vector fields for any $U$ open in $\mathcal B$, where $\mathcal B$ is the (open) complementary of $0$ in its basin of attraction.
Pseudogroupes conformes, structure géométrique invariante
Conformal pseudo-groups, invariant geometric structure


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