Les $d$-tissus plans ont été amplement étudiés depuis leur apparition au début du xxe siècle. Un résultat relativement récent et impressionnant est le théorème de Dufour qui stipule que les conjugaisons mesurables entre 3-tissus sont nécessairement analytiques. Dans cet article nous montrons que les conjugaisons ensemblistes entre $d$-tissus (avec $d\geq 3$) sont analytiques sauf si les deux tissus sont analytiquement parallélisables. Cependant, entre deux $d$-tissus parallélisables conjugués de manière ensembliste il existe toujours une conjugaison non-mesurable ; de plus, toute paire de $3$-tissus conjugués de manière ensembliste (qu'ils soient parallélisables ou non) sont également conjugués analytiquement, alors que si $d\geq 4$, il existe des paires de $d$-tissus qui sont conjugués de manière ensembliste mais non pas de manière mesurable.