SMF

Sur le transfert des intégrales orbitales pour les groupes linéaires (cas $p$-adique)

On the transfer of orbital integrals for linear groups ($p$-adic case)

François COURTÈS
Sur le transfert des intégrales orbitales pour les groupes linéaires (cas $p$-adique)
     
                
  • Année : 1997
  • Tome : 69
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 22E50 (11F70)
  • Nb. de pages : 146
  • ISBN : 2-85629-062-0
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.383

Le but de cet article est de résoudre le problème du transfert des intégrales orbitales de $\mathrm{SL}_n\left (F\right )$, où $F$ est un corps local non archimédien de caractéristique $0$, à ses groupes endoscopiques, dans le cas où la caractéristique résiduelle $p$ de $F$ est strictement supérieure à $n$. On démontre en fait le résultat suivant (qui l'implique) : si $G=\mathrm{GL}_n\left (F\right )$ et $H=\mathrm{GL}_m\left (E\right )$, où $E$ est une extension de $F$ modérément ramifiée de degré $\frac nm$, et si $p$ est quelconque, le transfert de $G$ à $H$ marche pour les éléments semi-simples réguliers engendrant dans $\mathrm{M}_n\left (F\right )$ une algèbre qui est produit d'extensions modérément ramifiées de $F$. Au voisinage de l'unité, on peut développer les intégrales orbitales sur $G$ et $H$ en germes de Shalika ; il suffit donc de les comparer pour des fonctions appartenant à un certain espace bien choisi. Pour ces fonctions, on a un autre développement en germes, liés aux traces tordues d'induites de représentations de Steinberg. On calcule donc de telles traces, puis on établit des relations de récurrence (sur $n$) sur la valeur des intégrales orbitales, d'où l'on déduit des relations de récurrence sur la valeur de ces germes. On obtient également des relations de récurrence sur la valeur des facteurs de transfert ; toutes ces relations permettent de comparer la valeur des germes sur $G$ et sur $H$ ; le résultat cherché s'en déduit.

The purpose of this article is to solve the problem of the transfer of integral orbitals from $\mathrm{SL}_n\left (F\right )$, where $F$ is a local nonarchimedean field, to its endoscopic groups, when the residue characteristic $p$ of $F$ is strictly greater than $n$. In fact, one shows the following result (which implies the transfer) : with $G=\mathrm{GL}_n\left (F\right )$ and $H=\mathrm{GL}_m\left (E\right )$, $E$ being a tamely ramified extension of $F$ of degree $\frac nm$, and for any $p$, the transfer from $G$ to $H$ holds on the set of semisimple regular elements which generate in $\mathrm{M}_n\left (F\right )$ an algebra which is the product of tamely ramified extensions of $F$. In a neighborhood of unity, orbital integrals on $G$ and $H$ can be developed in Shalika germs ; it is enough then to compare them for functions belonging to some well-chosen space. For these fonctions, one gets another development in germs, related to twisted traces of induced Steinberg representations. The computation of such traces, combined to recurrence relations (on $n$) on the value of orbital integrals, gives recurrence relations on the values of these germs. One gets recurrence relations on the value of transfer factors too ; all these relations allow us to compare the value of germs on $G$ and $H$, and the result follows.

Groupes réductifs, théorie des formes automorphes,transfert, intégrales orbitales, corps p-adiques

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