Nous présentons une version générale du lemme de Borel-Cantelli mise en relation avec une preuve du théorème de Khintchine sur l'approximation diophantienne et de l'une de ses généralisations, le théorème de Khintchine-Groshev. Dans le plan, la géométrie du tore permet de donner une preuve directe du théorème de Groshev sur l'ensemble des points $\psi $-approximables. Nous nous intéressons également à la mesure et à la dimension de Hausdorff de ces ensembles. Pour cela nous introduisons la notion d'ubiquité qui se révèle être un outil efficace. Dans le cas du plan et pour $\psi (q)=q^{-v}$, $v>0$, cette notion permet de calculer la dimension de Hausdorff de l'ensemble des points $\psi $-approximables, ce qui correspond à la version bidimensionnelle du théorème de Jarník-Besicovitch.