La définition de la catégorie des arbres élagués, dont les objets sont des arbres planaires à $n$-niveaux avec toutes les feuilles au niveau supérieur, a été dégagée dans les travaux de M. Batanin, en partie pour comprendre la structure cellulaire de certaines $E_n$-opérades en termes catégoriques. Le but de cet article est de montrer que la version enrichie en $k$-modules de la catégorie des arbres élagués est de Koszul. Ce résultat nous donne un modèle différentiel gradué minimal de cette catégorie, des petits complexes pour calculer des foncteurs $\mathrm {Tor}$ et $\mathrm {Ext}$ dans les catégories de diagrammes qui lui sont associés, et permet d'étendre aux $E_n$-algèbres un résultat de M. Livernet et B. Richter sur l'interprétation des constructions bar itérées en termes de foncteurs $\mathrm {Tor}$ catégoriques.