SMF

Une formule intégrale reliée à la conjecture locale de Gross-Prasad, 2e partie : Extension aux représentations tempérées

Symplectic local root numbers, central critical $L$-values, and restriction problems in the representation theory of classical groups

Jean-Loup WALDSPURGER
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  • Année : 2012
  • Tome : 346
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11S37, 22E50
  • Pages : 171-312
  • DOI : 10.24033/ast.915

Soit $V$ un espace vectoriel sur un corps $p$-adique $F$, soit $q$ une forme quadratique non-dégénérée sur $V$ et soit $D$ une droite non isotrope de $V$. Notons $W$ l'hyperplan orthogonal à $D$, $G$ et $H$ les groupes spéciaux orthogonaux de $V$ et $W$. Soient $\pi$, resp. $\rho$, une représentation admissible et irréductible de $G(F)$, resp. $H(F)$. La représentation $\rho$ apparaît comme quotient de la restriction de $\pi$ à $H(F)$ avec une certaine multiplicité $m(\pi,\rho)$. On sait que $m(\pi,\rho)\leq 1$. Dans un article précédent, sous l'hypothèse que $\pi$ était supercuspidale, nous avons prouvé une formule qui calculait $m(\pi,\rho)$ comme une intégrale de fonctions déduites des caractères de $\pi$ et $\rho$. Ici, nous prouvons la même formule sous l'hypothèse que $\pi$ et $\rho$ sont toutes deux tempérées. Nous imitons la preuve de la formule des traces locale d'Arthur. En supposant vérifiées les propriétés attendues des $L$-paquets, nous prouvons grâce à notre formule une version  faible de la conjecture locale de Gross-Prasad pour les $L$-paquets tempérés.

Let $V$ be a vector space over a $p$-adic field $F$, let $q$ be a non-degenerate quadratic form over $V$ and let $D$ be a non-isotropic line in $V$. Denote $W$ the hyperplane orthogonal to $D$, $G$ and $H$ the special orthogonal groups of $V$ and $W$. Let $\pi$, resp. $\rho$, be an irreducible admissible representation of $G(F)$, resp. $H(F)$. The representation $\rho$ appears as a quotient of the restriction of $\pi$ to $H(F)$ with a certain multiplicity $m(\pi,\rho)$. We know that $m(\pi,\rho)\leq1$. In a preceding paper, assuming that $\pi$ was supercuspidal, we have proved a formula that computes $m(\pi,\rho)$ as an integral of functions deduced from the characters of $\pi$ and $\rho$. Here, we prove the same formula  for $\pi$ and $\rho$ tempered. We follow the proof due to Arthur of the local trace formula. Using our formula and assuming some usual properties of $L$-packets, we prove a weak form of the local Gross-Prasad conjecture for tempered $L$-packets.

Représentations tempérées; groupes spéciaux orthogonaux; conjecture locale de Gross-Prasad
Tempered representations; special orthogonal groups; local Gross-Prasad conjecture