Soit $d$ un entier positif, $ \mathbb K$ un corps algébriquement clos de caractéristique $\textbf {p} \neq 2$ et $ X$ une courbe elliptique définie sur $\mathbb {K}$. On étudie les courbes hyperelliptiques munies d'une projection sur $ X$, telles que l'image naturelle de $X$ dans la jacobienne de la courbe, oscule à l'ordre $d$ au plongement de celle-ci, et ce en un point de Weierstrass. On étudie tout d'abord les relations entre le degré $n$, le genre arithmétique $g$ et l'ordre d'osculation $d$ des ces projections. On prouve qu'elles sont en correspondance biunivoque avec des courbes rationnelles dans des systèmes linéaires d'une surface rationnelle et on en déduit des familles $(d -1)$-dimensionnelles de revetements hyperelliptiques $d$-osculants de genre $g$, arbitrairement grand si la caractéristique $\textbf {p}=0$, ou $2g < \textbf {p}(2d+1)$ si $p\textbf {p} > 2$. Il en résulte des familles $(g+d-1)$-dimensionnelles de solutions de la hiérarchie $KdV$, doublement périodiques par rapport à la $d$-ième variable.