Nous considérons le processus de transpositions aléatoires sur le graphe complet $K_n$. Nous utilisons la théorie des représentations pour donner une formule exacte et simple pour l'espérance du nombre de cycles de taille $k$ à un temps $t$, en termes d'une fonction Beta incomplète. À l'aide de cette formule nous montrons que cette quantité saute de 0 à sa valeur d'équilibre au précisément au moment où la composante géante du graphe aléatoire associé devient plus grande que $k$. Nous en déduisons une nouvelle preuve du résultat de Schramm sur les transpositions aléatoires, qui montre que les cycles géants apparaîssent au même moment que la composant géante dans le graphe aléatoire. Nous calculons également la fenêtre de cette transition, qui est particulièrement étroite. Finalement nous obtenons une preuve nouvelle d'un résultat du premier auteur et de Durrett sur la décélération du processus de transpositions. La preuve repose sur une formule récemment établie donnant la décomposition en caractères du nombre de cycles d'une taille donnée dans une permutation, ainsi que la formule de Frobenius pour les rapports de caractères.