On démontre un théorème limite central local pour les marches aléatoires aux plus proches voisins en environnement aléatoire stationnaire de conductances sur $\mathbb {Z} $ en s'affranchissant simultanément des deux hypothèses iques d'uniforme ellipticité et d'indépendance sur les conductances. Outre le théorème limite central, on utilise pour cela des inégalités différentielles discrètes du type « inégalités de Nash » associées à la représentation de Hausdorff des suites complètement décroissantes. La méthode s'adapte aux chaînes de Markov analogues en temps continu.