Ce volume comprend les trois cours de la session des États de la Recherche de la SMF « Topologie géométrique et quantique en dimension $3$ » de juin 2014, dédiés à présenter des progrès récents sur l'étude d'invariants quantiques et analytiques des variétés de dimension $3$ et de leurs entrelacs. Le cours très accessible de Thang Lê y fait le point sur la conjecture AJ qui lie des généralisations des polynômes de Jones au polynôme A de Cooper, Culler, Gillet, Long et Shalen défini à partir des espaces de représentations des groupes fondamentaux des extérieurs de nœuds dans $SL_2(\mathbb {C})$. En 1999, Khovanov a associé aux nœuds de l'espace ambiant une homologie dont la caractéristique d'Euler est le polynôme de Jones. Le cours de Paul Turner présente cette catégorification du polynôme de Jones, ses applications et ses développements récents en guidant ses lecteurs dans la littérature abondante du sujet. Le cours de Robert Lipshitz présente l'homologie de Heegaard Floer qu'Osváth et Szábo ont introduite en 2004 avec certaines de ses applications les plus spectaculaires et les manières les plus efficaces connues de les obtenir. Ces cours sont précédés d'une présentation partielle, accessible à des non-spécialistes, du contexte dans lequel s'inscrivent les cours proposés.