Nous montrons qu'il n'existe pas de nombre réel typique du point de vue de l'approximation diophantienne, dans un sens précisé ci-après. Soit $\Psi $ une application de l'ensemble des entiers strictement positifs dans l'ensemble des nombres réels positifs. Khintchine a démontré que, si la fonction $q \mapsto q^2 \Psi (q)$ décroît et si la série de terme général $q \Psi (q)$ diverge, alors l'ensemble $\mathcal {K} (\Psi )$ des nombres réels $\xi $ pour lesquels l'inégalité $|\xi - p/q| < \Psi (q)$ possède une infinité de solutions rationnelles $p/q$ est de mesure de Lebesgue totale (Beresnevich, Dickinson et Velani ont démontré plus tard le même résultat en supposant seulement que $\Psi $ est décroissante). Nous montrons que, pour presque tout nombre réel $\alpha $, il existe une fonction $\Psi $ qui satisfait de bonnes conditions de « régularité » (concernant la décroissance de $\Psi $), telle que la série de terme général $q \Psi (q)$ diverge alors que l'inégalité $|\alpha - p/q| < \Psi (q)$ ne possède aucune solution rationnelle $p/q$. Khintchine a montré également que, si la série de terme général $q \Psi (q)$ converge, alors l'ensemble $\mathcal {K} (\Psi )$ est de mesure de Lebesgue nulle. Nous montrons que, pour presque tout nombre réel $\alpha $, il existe une fonction $\Psi $ qui satisfait de bonnes conditions de « régularité », telle que la série de terme général $q \Psi (q)$ converge alors que l'inégalité $|\alpha - p/q| < \Psi (q)$ possède une infinité de solutions rationnelles $p/q$. Enfin, nous calculons les dimensions de Hausdorff d'ensembles d'exceptions à nos résultats (définis en fonction des conditions de régularité sur $\Psi $).