Dans cet article sont construites des variétés riemanniennes analytiques compactes à courbure sectionnelle non-positive de rang géométrique un ayant une structure riche de sous-variétés totalement géodésiques de rangs plus élevés. Topologiquement ces variétés sont obtenues en éclatant certaines sous-variétés de codimension $2$ d'une variété hyperbolique se coupant deux à deux. La métrique sur cet espace éclaté est construite explicitement grâce à des séries de Poincaré et des méthodes appropriées pour contrôler sa courbure et son rang sont développées.