Approximation diophantienne, théorème de Khintchine, géométrie du tore et dimension de Hausdorff
Diophantine approximation, Khintchine's theorem, torus geometry and Hausdorff dimension
Séminaires et Congrès | 2009
- Année : 2009
- Tome : 19
- Format : Papier
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : 11J83, 11H16,11K60, 28J78
- Pages : 1-20
Nous présentons une version générale du lemme de Borel-Cantelli mise en relation avec une preuve du théorème de Khintchine sur l'approximation diophantienne et de l'une de ses généralisations, le théorème de Khintchine-Groshev. Dans le plan, la géométrie du tore permet de donner une preuve directe du théorème de Groshev sur l'ensemble des points $\psi $-approximables. Nous nous intéressons également à la mesure et à la dimension de Hausdorff de ces ensembles. Pour cela nous introduisons la notion d'ubiquité qui se révèle être un outil efficace. Dans le cas du plan et pour $\psi (q)=q^{-v}$, $v>0$, cette notion permet de calculer la dimension de Hausdorff de l'ensemble des points $\psi $-approximables, ce qui correspond à la version bidimensionnelle du théorème de Jarník-Besicovitch.
Approximation diophantienne métrique, dimension de Hausdorff, géométrie du tore, ubiquité