SMF

Arbres aléatoires, processus de Lévy et processus de branchement spatiaux

Random Trees, Lévy Processes and Spatial Branching Processes

Thomas Duquesne, Jean-François Le Gall
  • Année : 2002
  • Tome : 281
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60J80, 60J30, 60J25, 60G57, 60F17, 60G52
  • Nb. de pages : vi+147
  • ISBN : 2-85629-128-7
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.545
Nous étudions la structure généalogique de processus de branchement critiques ou sous-critiques à espace d'états continu. De manière analogue au codage d'un arbre discret par son contour, cette structure généalogique est codée par un processus aléatoire appelé le processus des hauteurs, qui est lui-même construit comme une fonctionnelle de type temps local d'un processus de Lévy sans saut négatif. Nous présentons une étude détaillée du processus des hauteurs et d'un processus à valeurs mesures associé appelé le processus d'exploration. Sous des hypothèses convenables, nous montrons que si une suite de processus de Galton-Watson convenablement changés d'échelle converge en loi, leurs généalogies convergent aussi vers la structure de branchement codée par le processus des hauteurs. Nous appliquons ce principe d'invariance à divers théorèmes limites pour les arbres de Galton-Watson. A l'aide des propriétés de dualité du processus d'exploration, nous calculons la loi de l'arbre réduit associé à des marques poissonniennes dans le processus des hauteurs, et les lois marginales de dimension finie de l'arbre continu stable. Ce dernier calcul généralise au cas stable un résultat d'Aldous pour l'arbre brownien continu. Finalement, en combinant la structure généalogique avec un déplacement spatial, nous développons une nouvelle approche des superprocessus avec un mécanisme de branchement général. Dans ce cadre, nous obtenons certaines distributions explicites, dont celle de l'arbre spatial réduit dans un domaine, qui décrit toutes les trajectoires historiques ayant atteint la frontière.
We investigate the genealogical structure of general critical or subcritical continuous-state branching processes. Analogously to the coding of a discrete tree by its contour function, this genealogical structure is coded by a real-valued stochastic process called the height process, which is itself constructed as a local time functional of a Lévy process with no negative jumps. We present a detailed study of the height process and of an associated measure-valued process called the exploration process, which plays a key role in most applications. Under suitable assumptions, we prove that whenever a sequence of rescaled Galton-Watson processes converges in distribution, their genealogies also converge to the continuous branching structure coded by the appropriate height process. We apply this invariance principle to various asymptotics for Galton-Watson trees. We then use the duality properties of the exploration process to compute explicitly the distribution of the reduced tree associated with Poissonnian marks in the height process, and the finite-dimensional marginals of the so-called stable continuous tree. This last calculation generalizes to the stable case a result of Aldous for the Brownian continuum random tree. Finally, we combine the genealogical structure with an independent spatial motion to develop a new approach to superprocesses with a general branching mechanism. In this setting, we derive certain explicit distributions, such as the law of the spatial reduced tree in a domain, consisting of the collection of all historical paths that hit the boundary.
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Lévy process, branching process, continuous-state branching process, Galton-Watson tree, random tree, height process, exploration process, local time, reduced tree, functional limit theorem, time-reversal, Poissonnian mark, stable tree, Lévy snake, superprocess, exit measure, exit distribution, reduced spatial tree.
Prix
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Quantité
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