Supposant connue l'existence des représentations galoisiennes associées aux formes modulaires de Siegel (elle ne l'est qu'en genre $\leq 2$ pour le moment), on étudie la cohomologie des variétés de Siegel à coefficients entiers $p$-adiques localisée en un idéal maximal non-Eisenstein de l'algèbre de Hecke, lorsque $p$ est grand par rapport au poids du système de coefficients. Plus précisément, on montre qu'elle est sans torsion, concentrée en degré médian, et qu'elle coïncide avec la cohomologie d'intersection et avec la cohomologie intérieure. On utilise pour cela la théorie de Hodge $p$-adique et le complexe BGG dual modulo $p$ qui calcule « les poids de Hodge-Tate »de la réduction modulo $p$ de cette cohomologie. On applique ce résultat à la construction de familles de Hida $p$-ordinaires pour les groupes symplectiques et à l'ébauche de la construction d'un système de Taylor-Wiles pour ces groupes.