SMF

Cohomologie des variétés de Siegel à coefficients entiers $p$-adiques et applications

Cohomology of Siegel varieties with $p$-adic integral coefficients and applications

Abdellah MOKRANE, Jacques TILOUINE
  • Année : 2002
  • Tome : 280
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11F46, 11G15, 14K22, 14F30
  • Pages : 1-95
  • DOI : 10.24033/ast.543

Supposant connue l'existence des représentations galoisiennes associées aux formes modulaires de Siegel (elle ne l'est qu'en genre $\leq 2$ pour le moment), on étudie la cohomologie des variétés de Siegel à coefficients entiers $p$-adiques localisée en un idéal maximal non-Eisenstein de l'algèbre de Hecke, lorsque $p$ est grand par rapport au poids du système de coefficients. Plus précisément, on montre qu'elle est sans torsion, concentrée en degré médian, et qu'elle coïncide avec la cohomologie d'intersection et avec la cohomologie intérieure. On utilise pour cela la théorie de Hodge $p$-adique et le complexe BGG dual modulo $p$ qui calcule « les poids de Hodge-Tate »de la réduction modulo $p$ de cette cohomologie. On applique ce résultat à la construction de familles de Hida $p$-ordinaires pour les groupes symplectiques et à l'ébauche de la construction d'un système de Taylor-Wiles pour ces groupes.

Under the assumption that Galois representations associated to Siegel modular forms exist (it is known only for genus at most $2$), we study the cohomology with $p$-adic integral coefficients of Siegel varieties, when localized at a non-Eisenstein maximal ideal of the Hecke algebra, provided the prime $p$ is large with respect to the weight of the coefficient system. We show that it is torsion-free, concentrated in degree $d$, and that it coincides with the interior cohomology and with the intersection cohomology. The proof uses $p$-adic Hodge theory and the dual BGG complex modulo $p$ in order to compute the “Hodge-Tate weights” for the mod. $p$ cohomology. We apply this result to the construction of Hida $p$-adic families for symplectic groups and to the first step in the construction of a Taylor-Wiles system for these groups.

Formes modulaires de Siegel, cohomologie $p$-adique, représentations galoisiennes
Siegel modular forms, $p$-adic cohomology, Galois representations
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