SMF

Cohomologie des variétés de Siegel

Cohomology of Siegel varieties

Abdellah Mokrane, Patrick Polo, Jacques Tilouine
  • Année : 2002
  • Tome : 280
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11F46, 11G15, 14F30, 14K22, 17B50, 17B56, 20G30
  • Nb. de pages : viii+136
  • ISBN : 2-85629-124-4
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.542
Cette monographie traite un aspect de la question de la torsion dans la cohomologie entière des variétés de Shimura. Son objet est d'établir, pour les variétés de Siegel, que la localisation de cette cohomologie en un idéal maximal de type non-Eisenstein $\mathfrak m$ de l'algèbre de Hecke $\mathbb T$ n'a pas de $p$-torsion ($p = \mbox {\rm char}(\mathbb T/\mathfrak m$)), pour $p$ plus grand qu'une certaine borne explicite. En outre, cette localisation tue la cohomologie du bord. On donne deux applications arithmétiques de ce résultat. Un ingrédient de la preuve est une version sur $\mathbb Z_p$ de complexes de Bernstein-Gelfand-Gelfand et d'un théorème de Kostant, pour $p$ plus grand que la borne ci-dessus. Detailed resume : Cette monographie traite de la question de la torsion dans la cohomologie des variétés de Shimura, à coefficients dans $\mathbb Z_p$ ou, plus généralement, dans un certain système local $V_\lambda $ de $\mathbb Z_p$-modules plats. Son objet est d'établir, pour les variétés de Siegel, que la localisation de cette cohomologie en un idéal maximal de type non-Eisenstein $\mathfrak m$ de l'algèbre de Hecke $\mathbb T$ n'a pas de $p$-torsion ($p = \mbox {\rm char}(\mathbb T/\mathfrak m)$), pour $p$ plus grand qu'une certaine borne explicite $c(\lambda )$ qui ne dépend que du plus haut poids $\lambda $ du système de coefficients. En outre, cette localisation tue la cohomologie du bord. On donne deux applications arithmétiques de ce résultat. L'une concerne les familles de Hida de systèmes de valeurs propres de Hecke, l'autre constitue une étape importante dans la construction de certains systèmes de Taylor-Wiles pour les groupes symplectiques. Un ingrédient de la preuve est une version sur $\mathbb Z_p$ de complexes de Bernstein-Gelfand-Gelfand et d'un théorème de Kostant, calculant la $\mathfrak n$-homologie du module de Weyl $V_\lambda $, pour $p$ plus grand que la borne ci-dessus (ce qui implique que $\lambda $ appartient à l'adhérence de la $p$-alcôve fondamentale).
This volume deals with the question of torsion in the integral cohomology of Shimura varieties. Its goal is to show, for Siegel varieties, that the localization of this cohomology at a non-Eisenstein maximal ideal $\mathfrak m$ of the Hecke algebra $\mathbb T$ has no $p$-torsion ($p = \mbox {\rm char}(\mathbb T/\mathfrak m$)), for $p$ greater than an explicit bound. This localization, moreover, kills the boundary cohomology. Two arithmetic applications are presented. An ingredient in the proof is a version over $\mathbb Z_p$ of Bernstein-Gelfand-Gelfand complexes and Kostant's theorem, for $p$ greater than the above bound. Detailed abstract : This volume deals with the question of torsion in the cohomology of Shimura varieties, the coefficient system being $\mathbb Z_p$ or, more generally, a certain local system $V_\lambda $ of flat $\mathbb Z_p$-modules. Its goal is to show, for Siegel varieties, that the localization of this cohomology at a non-Eisenstein maximal ideal $\mathfrak m$ of the Hecke algebra $\mathbb T$ has no $p$-torsion ($p = \mbox {\rm char}(\mathbb T/\mathfrak m)$), for $p$ greater than an explicit bound $c(\lambda )$ depending only on the highest weight $\lambda $ of the coefficient system. This localization, moreover, kills the boundary cohomology. Two arithmetic applications are presented : one concerns Hida families of Hecke eigensystems and the other is a step towards the existence of certain Taylor-Wiles systems for symplectic groups. An ingredient in the proof is a version over $\mathbb Z_p$ of Bernstein-Gelfand-Gelfand complexes and of Kostant's theorem computing the $\mathfrak n$-homology of the Weyl module $V_\lambda $, for $p$ greater than the above bound $c(\lambda )$ (which implies that $\lambda $ belongs to the closure of the fundamental $p$-alcove).
Formes modulaires de Siegel, cohomologie $p$-adique, représentations galoisiennes, complexes de BGG, (co)homologie de groupes nilpotents
Siegel modular forms, $p$-adic cohomology, Galois representations, BGG complexes, (co)homology of nilpotent groups
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