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Travaux de K. Fujiwara, K. Kato et C. Nakayama sur la cohomologie étale logarithmique

An Overview of the Work of K. Fujiwara, K. Kato, and C. Nakayama on Logarithmic Étale Cohomology

Luc ILLUSIE
     
                
  • Année : 2002
  • Tome : 279
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14A99, 14D05, 14D06, 14D10, 14E05, 14E20, 14E22, 14F20, 14F35, 14G20
  • Pages : 271-322
  • DOI : 10.24033/ast.540

Ce texte présente les travaux de K. Fujiwara, K. Kato et C. Nakayama sur la cohomologie log étale des log schémas. Après quelques rappels sur le langage des log schémas, nous définissons et étudions une e de morphismes log étales de log schémas appelés morphismes de Kummer étales (généralisation des morphismes modérément ramifiés de la géométrie algébrique ique), puis la topologie et la cohomologie associées. Les principaux résultats sont des théorèmes de comparaison avec la cohomologie étale ique et la cohomologie de log Betti, un théorème d'invariance de la cohomologie Kummer étale par log éclatements (dont nous donnons une démonstration détaillée), et un théorème de locale acyclicité pour les log schémas log lisses sur un trait, impliquant un théorème de modération pour les cycles proches iques correspondants. Dans la dernière partie, nous énonçons des résultats de K. Kato sur la cohomologie log étale, où la localisation par les morphismes de Kummer étales est remplacée par la localisation par tous les morphismes log étales.

This paper is a report on the work of K. Fujiwara, K. Kato and C. Nakayama on log étale cohomology of log schemes. After recalling basic terminology and facts on log schemes we define and study a of log étale morphisms of log schemes, called Kummer étale morphisms, which generalize the tamely ramified morphisms of ical algebraic geometry. We discuss the associated topology and cohomology. The main results are comparison theorems with ical étale cohomology and log Betti cohomology, a theorem of invariance of Kummer étale cohomology under log blow-ups (for which we provide a complete proof) and a local acyclicity theorem for log smooth log schemes over the spectrum of a henselian discrete valuation ring, which implies tameness for the corresponding ical nearby cycles. In the last section we state results of K. Kato on log étale cohomology, where localization by Kummer étale morphisms is replaced by localization by all log étale morphisms.

Géométrie logarithmique, monoïde, log structure, log schéma, Kummer, log étale, log lisse, diviseur à croisements normaux, réduction semi-stable, revêtement, groupe fondamental, cohomologie de Betti, cohomologie étale, cohomologie $\ell $-adique, modéré, log éclatement, variété torique, acyclicité, cycles proches, cycles évanescents, monodromie, poids, régulier, pureté, changement de base
Logarithmic geometry, monoid, log structure, log scheme, Kummer, log étale, log smooth, divisor with normal crossings, semistable reduction, covering, fundamental group, Betti cohomology, étale cohomology, $\ell $-adic cohomology, tame, log blow-up, toric variety, acyclicity, nearby cycles, vanishing cycles, monodromy, weights, regular, purity, base change


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