La théorie des revêtements presque étales permet la comparaison entre les cohomologies cristalline et étale $p$-adique des schémas au-dessus d'un anneau de valuation discrète $p$-adique. Nous donnons une démonstration nouvelle du principal ingrédient technique (théorème de pureté) et étendons ce résultat à toutes les singularités toroïdales. Nous en déduisons une démonstration du théorème de comparaison de Tsuji pour des schémas possédant ce genre de singularités incluant le cas de systèmes locaux appropriés. En chemin, nous sommes amené à établir des résultats de finitude pour la cohomologie cristalline à coefficients dans de tels systèmes locaux.