SMF

Bases cristallines des groupes quantiques

Crystal Bases of Quantum Groups

Masaki Kashiwara (rédigé par Charles Cochet)
  • Année : 2002
  • Tome : 9
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 17B37
  • Nb. de pages : viii+115
  • ISBN : 2-85629-126-0
  • ISSN : 1284-6090
Depuis leur introduction par Drinfeld et Jimbo en 1985 lors de l'étude des modèles exacts solubles, les algèbres enveloppantes quantiques sont devenues un des outils principaux pour décrire de nouvelles symétries. En $q=0$, on peut trouver une bonne base (dite base cristalline) des représentations de l'algèbre enveloppante quantique $U_{q}(\mathfrak {g})$ d'une algèbre de Lie semi-simple $\mathfrak {g}$. De nombreuses propriétés des représentations se réduisent à la combinatoire des bases cristallines. Dans ce cours, l'auteur présente les bases cristallines ainsi que leur application au calcul des multiplicités des poids et des coefficients du produit tensoriel de deux représentations. Detailed resume : Depuis leur introduction par Drinfeld et Jimbo en 1985 lors de l'étude des modèles exacts solubles, les algèbres enveloppantes quantiques sont devenues un des outils principaux pour décrire de nouvelles symétries. En $q=0$, on peut trouver une bonne base (dite base cristalline) des représentations de l'algèbre enveloppante quantique $U_{q}(\mathfrak {g})$ d'une algèbre de Lie semi-simple $\mathfrak {g}$. Une action modifiée des vecteurs racines envoie la base cristalline sur elle-même, lui conférant une structure combinatoire riche. On peut ainsi réduire de nombreuses propriétés des représentations à la combinatoire des bases cristallines. Dans ce cours, l'auteur présente les bases cristallines ainsi que leur application au calcul des multiplicités des poids et des coefficients du produit tensoriel de deux représentations.
Since their introduction by Drinfeld and Jimbo in 1985 in the studies of exactly solvable models, enveloping algebras have been one of the most important tools to describe new symmetries. In $q=0$, there is a good base (the so-called crystal base) of the representation of a quantum enveloping algebra $U_{q}(\mathfrak {g})$ of a semi-simple Lie algebra $\mathfrak {g}$. Many properties of representation reduce to the combinatorics of crystal base. In this book, the author presents crystal bases and their applications to multiplicities and weights of tensor product of two representations. Detailed abstract : Since their introduction by Drinfeld and Jimbo in 1985 in the studies of exactly solvable models, enveloping algebras have been one of the most important tools to describe new symmetries. In $q=0$, there is a good base (the so-called crystal base) of the representation of a quantum enveloping algebra $U_{q}(\mathfrak {g})$ of a semi-simple Lie algebra $\mathfrak {g}$. A modified action of root vectors sends the crystal base to itself, thus providing a rich combinatorial structure. Therefore one can reduce many properties of representation to the combinatorics of crystal base. In this book, the author presents crystal bases and their applications to multiplicities and weights of tensor product of two representations.
Base cristalline, groupe quantique
Crystal bases, Quantum Groups
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