SMF

Caractérisation de domaines de cycles par l'hyperbolicité au sens de Kobayashi

Characterization of cycle domains via Kobayashi hyperbolicity

Gregor Fels, Alan Huckleberry
Caractérisation de domaines de cycles par l'hyperbolicité au sens de Kobayashi
     
                
  • Année : 2005
  • Fascicule : 1
  • Tome : 133
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 22E46, 32M05
  • Pages : 121-144
  • DOI : 10.24033/bsmf.2481
Une forme réelle G d'un groupe de Lie semi-simple GC n'admet qu'un nombre fini d'orbites dans toute GC-variété de drapeaux Z=GC/Q. La géométrie complexe de ces orbites est intéressante, par exemple pour la théorie de la représentation associée. Les fonctions holomorphes sur les orbites ouvertes D de G sont constantes en général ; les objets géométriques importants liés à ces orbites sont des sous-variétés complexes de D de dimension positives qui, à quelques rares exceptions bien comprises, sont paramétrées par les domaines de cycles de Wolf ΩW(D)GC/KC, où K est un sous-groupe maximal compact de G. Alors, pour les domaines D dans les variétés ambiantes Z, il est possible de comparer les domaines de cycles ΩW(D). Le résultat principal de cet article, aux exceptions près mentionnées ci-dessus, est que pour une forme réelle G fixée, les domaines ΩW(D) sont les mêmes. Ils sont égaux à un domaine universel ΩAG, qui est canonique du point de vue d'actions de groupe et qui peut être essentiellement calculé. Le résultat technique important est que tout domaine de Stein hyperbolique au sens de Kobayashi ˆΩ qui contient ΩAG est égal à ΩAG. L'égalité des domaines de cycles s'ensuit du fait que chaque ΩW(D) est lui-même de Stein, hyperbolique et contient ΩAG.
A real form G of a complex semi-simple Lie group GC has only finitely many orbits in any given GC-flag manifold Z=GC/Q. The complex geometry of these orbits is of interest, e.g., for the associated representation theory. The open orbits D generally possess only the constant holomorphic functions, and the relevant associated geometric objects are certain positive-dimensional compact complex submanifolds of D which, with very few well-understood exceptions, are parameterized by the Wolf cycle domains ΩW(D) in GC/KC, where K is a maximal compact subgroup of G. Thus, for the various domains D in the various ambient spaces Z, it is possible to compare the cycle spaces ΩW(D). The main result here is that, with the few exceptions mentioned above, for a fixed real form G all of the cycle spaces ΩW(D) are the same. They are equal to a universal domain ΩAG which is natural from the the point of view of group actions and which, in essence, can be explicitly computed. The essential technical result is that if ˆΩ is a G-invariant Stein domain which contains ΩAG and which is Kobayashi hyperbolic, then ˆΩ=ΩAG. The equality of the cycle domains follows from the fact that every ΩW(D) is itself Stein, is hyperbolic, and contains ΩAG.
Géométrie complexe, espaces de cycles, groupes de Lie, variété de Schubert
Complex geometry, cycles spaces, Lie groups, Schubert varieties


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