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Existence de filtrations admissibles sur des isocristaux

Existence of admissible filtrations on isocrystals

Jean-Marc Fontaine, Michael Rapoport
Existence de filtrations admissibles sur des isocristaux
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  • Année : 2005
  • Fascicule : 1
  • Tome : 133
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14F30, 14L05
  • Pages : 73-86
  • DOI : 10.24033/bsmf.2479
Soit $(D,\varphi )$ un isocristal de vecteur de Newton $\nu \in (\mathbb Q^d)_+$. On associe à une filtration $\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet }$ de $D$ son vecteur de Hodge $\mu (\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })\in ({\mathbb Z}^d)_+$. Si $\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet }$ est admissible (i.e. $(D,\varphi , \mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })$ est faiblement admissible en tant qu'isocristal filtré), alors $\mu (\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })\geq \nu $. Réciproquement, on démontre qu'étant donné $\mu \in (\mathbb Z^d)_+$ avec $\mu \geq \nu $, il existe une filtration admissible $\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet }$ de $D$ avec $\mu =\mu (\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })$. On en déduit, à l'aide d'un théorème de Laffaille, l'existence d'un réseau $M$ dans $D$ de type $\mu $. On donne aussi une variante pour un groupe quasi-déployé quelconque.
Let $(D,\varphi )$ be an $F$-isocrystal with associated Newton vector $\nu $ in $(\mathbb Q^d)_+$. To a filtration $\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet }$ of $D$ is associated its Hodge vector $\mu (\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })\in (\mathbb Z^d)_+$. If $\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet }$ is admissible (i.e.ˆ̂M$(D,\varphi , \mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })$ is a weakly admissible filtered isocrystal), then $\mu (\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })\geq \nu $. We show that, conversely, for any $\mu \in (\mathbb Z^d)_+$ with $\mu \geq \nu $, there exists an admissible filtration $\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet }$ of $D$ with $\mu =\mu (\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })$. With the help of a theorem of Laffaille we deduce the existence of a lattice $M$ in $D$ of type $\mu $. We also give a variant for arbitrary quasi-split groups.
Isocristaux, vecteur de Newton, filtrations admissibles
$F$-isocrystals, Newton vector, admissible filtrations