SMF

Chaînes holomorphes de bord donné dans $\mathbb {CP}^n$

Pierre Dolbeault, Gennadi Henkin
Chaînes holomorphes de bord donné dans $\mathbb {CP}^n$
     
                
  • Année : 1997
  • Fascicule : 3
  • Tome : 125
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 32~C~30, 49~Q~15
  • Pages : 383-445
  • DOI : 10.24033/bsmf.2312
Dans l'espace projectif $\mathbb {CP}^n$, ou plus généralement, dans un domaine linéairement $q$-concave $X$ de $\mathbb {CP}^n$, on considère le problème suivant : trouver une $p$-chaîne holomorphe dans $X$, de bord une sous-variété $M$ donnée de $X$, fermée, orientée, de dimension $(2p-1)$. On utilise les sous-espaces projectifs $P$ de dimension $n-p+1$ contenus dans $X$. Théorème I. — Les deux conditions suivantes sont équivalentes : (i) $M$ est le bord d'une $p$-chaîne holomorphe de $X$, de masse localement finie ; (ii) $M$ est maximalement complexe, de volume localement fini et, pour tout $P$ contenu dans $X$ et assez voisin d'un sous-espace donné, $M\cap P$ est une courbe de $P$, bord d'une 1-chaîne holomorphe de masse finie. Le théorème I se déduit du théorème II donnant une condition, généralisant la condition des moments d'Harvey-Lawson sur $M$, pour que $M$ soit le bord d'une chaîne holomorphe, et aussi d'un théorème de compacité du type de Sachs-Uhlenbeck (1981). Le théorème II généralise le résultat obtenu en 1993 pour $p=1$. Des corollaires redonnent les théorèmes connus dans $\mathbb {C}^n$ et $\mathbb {CP}^n\smallsetminus \mathbb {CP}^{n-r}$ dus à Wermer, Harvey, Lawson, Chirka et d'autres. On s'est borné au cas où $M$ est de e $C^2$, éventuellement avec des singularités négligeables.
In the projective space $\mathbb {CP}^n$, or more generally, in a $q$-linear concave domain $X$ of $\mathbb {CP}^n$, we consider the following problem : find a holomorphic $p$-chain in $X$ whose boundary is a given $(2p-1)$-dimensional oriented closed submanifold $M$ of $X$. We use $(n-p+1)$-dimensional subspaces $P$ of $\mathbb {CP}^n$ contained in $X$. Theorem I. – The following two conditions are equivalent : (i) $M$ is the boundary of a holomorphic $p$-chain of $X$, of locally finite mass ; (ii) $M$ is maximally complex of locally finite volume and, for any $P$ contained in $X$ in a small enough neighborhood of a given subspace, $M\cap P$ is a curve in $P$ bounding a holomorphic 1-chain of finite mass. Theorem I is deduced from theorem II giving a condition generalizing the moment condition of Harvey-Lawson for $M$, such that $M$ be the boundary of a holomorphic chain, and also from a compactness theorem of the Sachs-Uhlenbeck type (1981). Theorem II generalizes the 1993 result for $p=1$. Corollaries give the known theorems in $\mathbb {C}^n$ and $\mathbb {CP}^n\smallsetminus \mathbb {CP}^{n-r}$ found by Wermer, Harvey, Lawson, Chirka and others. We restrict ourselves to $M$ of $C^2$, possibly with scar sets.


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