Local tame lifting for $GL(n)$ II: wildly ramiﬁed supercuspidals

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Changement de base local modéré pour $GL(n)$ II : représentations supercuspidales sauvages

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Colin J. BUSHNELL, Guy HENNIART

Astérisque | 1999

Changement de base local modéré pour $GL(n)$ II : représentations supercuspidales sauvages

Année : 1999
Tome : 254
Format : Électronique, Papier
Langue de l'ouvrage :
Anglais
Class. Math. : 22E50, 11F70, 11R69
Nb. de pages : 111
ISSN : 0303-1179
DOI : 10.24033/ast.432

Soit $F$ un corps local non archimédien à corps résiduel ﬁni de caractéristique $p$. Une représentation irréductible $\sigma $ du groupe de Weil $\mathcal{W}_F$ de $F$ est dite sauvagement ramiﬁée si $\dim \sigma $ est une puissance de $p$ et $\sigma \not \cong \chi \otimes \sigma $ pour tout quasicaractère non ramiﬁé $\chi \neq 1$ de $\mathcal{W}_F$. Notons $\mathcal{G}^{\rm wr}_m(F)$ l'ensemble des classes d'isomorphie de telles représentations de dimension $p^m$. Une représentation irréductible supercuspidale $\pi$ de ${\rm GL}_n(F)$ est dite sauvagement ramiﬁée si $n$ est une puissance de $p$ et $\pi \not \cong \pi \otimes (\chi \circ \det )$ pour tout quasicaractère non ramiﬁé $\chi \neq 1$ de $F^\times$. Notons $\Scr A^{\rm wr}_m(F)$ l'ensemble des classes d'isomorphie de telles représentations de ${\rm GL}_{p^m}(F)$. Dans cet article, nous faisons deux choses. En premier, nous proposons une déﬁnition d'une application de changement de base $\boldsymbol l_{K/F}:\Scr A^{\rm wr}_m(F) \to \Scr A^{\rm wr}_m(F)$, où $K/F$ est une extension ﬁnie modérée. La méthode est locale et explicite, basée sur la iﬁcation des représentations supercuspidales due à C. Bushnell et Ph. Kutzko et une déﬁnition partielle du changement de base modéré (non galoisien), due aux auteurs. Les arguments s'étendent à des corps locaux de caractéristique non nulle. Si le corps $F$ est de caractéristique nulle et que $K/F$ est cyclique de degré premier à $p$, nous montrons que cette application coîncide avec le changement de base au sens de J. Arthur et L. Clozel. Deuxièmement, dans le cas où $F$ est de caractéristique nulle, nous construisons une bijection canonique $\boldsymbol \pi _m^F:\mathcal{G}^{\rm wr}_m(F) \to mathcal{A}^{\rm wr}_m(F)$ qui possède beaucoup des propriétés exigées d'une correspondance de Langlands. Récemment, M. Harris et R. Taylor ont annoncé une preuve, par voie globale et géométrique, des conjectures de Langlands pour ${\rm GL}_n(F)$. Leurs résultats impliquent l'existence d'une bijection canonique $\mathcal{L}_m:\mathcal{G}^{\rm wr}_m(F) \to \mathcal{A}^{\rm wr}_m(F)$. Pour $\sigma \in \mathcal{G}^{\rm wr}_m(F)$, il existe un quasicaractère non ramiﬁé $\chi _\sigma $ de $\mathcal{W}_F$, d'ordre ﬁni divisant $p^m$, tel que $\boldsymbol \pi _m(\sigma ) = \mathcal{L}_m(\sigma \otimes \chi _\sigma )$. Nous espérons que les méthodes du présent article mèneront à une preuve alternative des conjectures locales de Langlands pour ${\rm GL}_n$.

Let $F$ be a non-Archimedean local ﬁeld with ﬁnite residue ﬁeld of characteristic $p$. An irreducible representation $\sigma $ of the Weil group $\scr W_F$ of $F$ is called wildly ramiﬁed if $\dim \sigma $ is a power of $p$ and $\sigma \not \cong \chi \otimes \sigma $ for any unramiﬁed quasicharacter $\chi \neq 1$ of $\scr W_F$. We write $\mathcal{G}^{\rm wr}_m(F)$ for the set of equivalence es of such representations of dimension $p^m$. An irreducible supercuspidal representation $\pi $ of ${\rm GL}_n(F)$ is wildly ramiﬁed if $n$ is a power of $p$ and $\pi \not \cong \pi \otimes (\chi \circ \det )$ for any unramiﬁed quasicharacter $\chi \neq 1$ of $F^\times $. We write $\mathcal{A}^{\rm wr}_m(F)$ for the set of equivalence ses of such representations of ${\rm GL}_{p^m}(F)$. In this paper, we do two things. First, we propose a deﬁnition of a base change map $\boldsymbol l_{K/F}:\mathcal{A}^{\rm wr}_m(F) \to \mathcal{A}^{\rm wr}_m(K)$ for any ﬁnite tame extension $K/F$. The construction is explicit and local, being based on the iﬁcation of supercuspidal representations of ${\rm GL}_n(F)$ (due to C. Bushnell and P.C. Kutzko) and a partial deﬁnition of (non-Galois) tame base change (due to the authors). The results apply to local ﬁelds $F$ of positive characteristic. When $F$ has characteristic zero and $K/F$ is cyclic of degree prime to $p$ we show that this map coincides with base change in the sense of Arthur and Clozel. Second, when $F$ has characteristic zero, we construct a canonical bijection $\boldsymbol \pi _m^F:\mathcal{G}^{\rm wr}_m(F) \to \mathcal{A}^{\rm wr}_m(F)$, for each $m$. We show that this has many of the properties demanded of a Langlands correspondence. Recently, M. Harris and R. Taylor have announced a proof of the local Langlands conjecture for ${\rm GL}_n(F)$, using a global geometric method. This implies the existence of a canonical bijection $\mathcal{L}_m:\mathcal{G}^{\rm wr}_m(F) \to \mathcal{A}^{\rm wr}_m(F)$. If $\sigma \in \mathcal{G}^{\rm wr}_m(F)$, there is an unramiﬁed quasicharacter $\chi _\sigma $ of $\mathcal{W}_F$ of ﬁnite order dividing $p^m$ such that $\boldsymbol \pi _m(\sigma )= \mathcal{L}_m(\sigma \otimes \chi _\sigma )$. We expect that the methods of this paper will lead to another proof of the local Langlands conjecture for ${\rm GL}_n$.