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Chaos pour les opérateurs de convolution sur l’espace des fonctions entières en une infinité de variables complexes

Chaos for convolution operators on the space of entire functions of infinitely many complex variables

Blas M. CARABALLO and Vinicius V. FAVARO
Chaos pour les opérateurs de convolution sur l’espace des fonctions entières en une infinité de variables complexes
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 2
  • Tome : 148
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 47A16, 47B38, 32A15
  • Pages : 237-251
  • DOI : 10.24033/bsmf.2804

Contrastant fortement avec un résultat classique de Godefroy et Shapiro, Mujica et le deuxième auteur ont montré qu’aucun opérateur de translation sur l’espace $\mathcal{H}(\mathbb{C}^\mathbb{N})$ des fonctions entières en une infinité de variables complexes est hyper cyclique. Pour mieux comprendre la dynamique de tels opérateurs, dans ce travail, nous montrons premièrement qu'aucun opérateur de convolution sur $\mathcal{H}(\mathbb{C}^\mathbb{N})$ n'est cyclique ni $n$-supercyclique, quelque que soit l’entier positif $n$. Dans le sens opposé, nous montrons que tous les opérateurs de convolution non triviaux sur $ \mathcal{H}(\mathbb{C}^\mathbb{N}) $ sont mélangeant. En appliquant le concept, défini par Arai, de chaos de Li-Yorke sur des espaces vectoriels topologiques non métrisables, nous montrons que les opérateurs de convolution non triviaux sur $ \mathcal{H}(\mathbb{C}^\mathbb{N}) $ sont également Li-Yorke chaotiques.

In sharp contrast to a classical result of Godefroy and Shapiro, Mujica and the second author showed that no translation operator on the space $\mathcal{H}(\mathbb{C}^\mathbb{N})$ of entire functions of infinitely many complex variables is hypercyclic. In an attempt to better understand the dynamics of such operators, in this work we show, firstly, that no convolution operator on $\mathcal{H}(\mathbb{C}^\mathbb{N})$ is cyclic or $n$-supercyclic for any positive integer $n$. In the opposite direction, we show that every non-trivial convolution operator on $\mathcal{H}(\mathbb{C}^\mathbb{N})$ is mixing. Particularizing Arai's concept of Li-Yorke chaos to non-metrizable topological vector spaces, we show that non-trivial convolution operators on $\mathcal{H}(\mathbb{C}^\mathbb{N})$ are also Li-Yorke chaotic.

$n$-supercyclicité et cyclicité, Chaos de Li-Yorke, Mélangeant, Opérateurs de convolution, Fonctions holomorphes en une infinité de variables complexe
$n$-supercyclicity and cyclicity, Li-Yorke chaos, Mixing, Convolution operators, Holomorphic functions of infinitely many complex variables
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