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Classes de cycle tropicales pour les espaces non archimédiens et décomposition par le poids des faisceaux de cohomologie de de Rham

Tropical cycle classes for non-Archimedean spaces and weight decomposition of de Rham cohomology sheaves

Yifeng LIU
Classes de cycle tropicales pour les espaces non archimédiens et décomposition par le poids des faisceaux de cohomologie de de Rham
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 2
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14G22
  • Pages : 291-352
  • DOI : 10.24033/asens.2423

Cet article a trois objectifs majeurs. Premièrement, nous définissons des applications de classes de cycle tropicales pour des variétés lisses sur des corps non archimédiens, à valeurs dans la cohomologie de Dolbeault définie en termes de formes réelles introduites par Chambert-Loir et Ducros. Deuxièmement, nous construisons une décomposition fonctorielle des faisceaux de cohomologie de de Rham, appelée décomposition par le poids, pour des espaces analytiques lisses sur certains corps non archimédiens de caractéristique zéro, qui généralise une construction de Berkovich et résout une question posée par lui-même. Troisièmement, nous révélons une connexion entre la théorie tropicale et la théorie de de Rham algébrique. Comme application, nous montrons que les cycles algébriques qui sont triviaux dans la cohomologie de de Rham algébrique sont également triviaux en tant que courants pour la cohomologie de Dolbeault.

This article has three major goals. First, we define tropical cycle class maps for smooth varieties over non-Archimedean fields, valued in the Dolbeault cohomology defined in terms of real forms introduced by Chambert-Loir and Ducros. Second, we construct a functorial decomposition of de Rham cohomology sheaves, called weight decomposition, for smooth analytic spaces over certain non-Archimedean fields of characteristic zero, which generalizes a construction of Berkovich and solves a question raised by himself. Third, we reveal a connection between the tropical theory and the algebraic de Rham theory. As an application, we show that algebraic cycles that are trivial in the algebraic de Rham cohomology are trivial as currents for Dolbeault cohomology as well.

Classes de cycle tropicales, Cohomologie de Dolbeault tropicale, décomposition par le poids
Tropical cycle classes, tropical Dolbeault cohomology, weight decomposition
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