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Transformation de Donaldson-Thomas de double cellules de Bruhat dans les groupes de Lie semi-simples

Donaldson-Thomas Transformation of double Bruhat cells in semisimple Lie groups

Daping WENG
Transformation de Donaldson-Thomas de double cellules de Bruhat dans les groupes de Lie semi-simples
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 2
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14E05, 14L10, 14N35, 14T05, 22E46
  • Pages : 353-436
  • DOI : 10.24033/asens.2424

Les doubles cellules de Bruhat $G^{u,v}$ ont initialement été étudiées par Fomin et Zelevinsky [8]. Ils fournissent des exemples importants d'algèbres amassées [1] et de variétés de Poisson amassées [5]. Les variétés amassées produisent des exemples de catégories de 3d Calabi-Yau satisfaisant certaines conditions de stabilité; et leurs invariants de Donaldson-Thomas définis par Kontsevich et Soibelman [15] sont encodés par un automorphisme formel sur la variété amassée connue sous le nom de transformation de Donaldson-Thomas. Goncharov et Shen conjecturent dans [11] que pour tout groupe de Lie semi-simple $G$, la transformation de Donaldson-Thomas de la variété de Poisson amassée $H\backslash G^{u,v}/H$ est une modification mineure de l'application twist de Fomin et Zelevinsky [8]. Dans cet article, nous démontrons cette conjecture en utilisant les ensembles amassés et la construction d'amalgames de Fock et Goncharov de façon essentielle. Notre résultat, une fois combiné avec les travaux de Gross, Hacking, Keel et Kontsevich démontre la conjecture de dualité de Fock et Goncharov dans le cas de $H\backslash G^{u,v}/H$.

Double Bruhat cells $G^{u,v}$ were first studied by Fomin and Zelevinsky [8]. They provide important examples of cluster algebras [1] and cluster Poisson varieties [5]. Cluster varieties produce examples of 3d Calabi-Yau categories with stability conditions and their Donaldson-Thomas invariants, defined by Kontsevich and Soibelman [15], are encoded by a formal automorphism on the cluster variety known as the Donaldson-Thomas transformation. Goncharov and Shen conjectured in [11] that for any semisimple Lie group $G$, the Donaldson-Thomas transformation of the cluster Poisson variety $H\backslash G^{u,v}/H$ is a slight modification of Fomin and Zelevinsky's twist map [8]. In this paper we prove this conjecture, using crucially Fock and Goncharov's cluster ensembles [7] and the amalgamation construction [5]. Our result, combined with the work of Gross, Hacking, Keel, and Kontsevich [12], proves the duality conjecture of Fock and Goncharov [7] in the case of $H\backslash G^{u,v}/H$.

Variétés amassées, double cellules de Bruhat, transformation de Donaldson-Thomas
Cluster varieties, double Bruhat cells, Donaldson-Thomas transformation
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