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Régularité de minimiseurs de la fonctionnelle K-énergie et applications à la propreté et la K-stabilité

Regularity of weak minimizers of the K-energy and applications to properness and K-stability

Robert J. BERMAN, Tamás DARVAS & Chinh H. LU
Régularité de minimiseurs de la fonctionnelle K-énergie et applications à la propreté et la K-stabilité
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 2
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 32Q15, 32Q26, 32U05, 32W20, 58B20, 58E11
  • Pages : 267-289
  • DOI : 10.24033/asens.2422

Soient $(X,\omega)$ une variété kählérienne compacte et $\mathcal{H}$ l'espace des métriques de Kähler dans la classe de cohomologie de $\omega$. S'il existe une métrique csck dans $\mathcal{H}$, nous montrons que tous les minimiseurs dans l'espace d'énergie finie de la fonctionnelle K-énergie sont lisses, confirmant partiellement une conjecture de Y.A. Rubinstein et le deuxième auteur. Comme une conséquence immédiate, nous en déduisons  que l'existence d'une métrique csck dans $\mathcal{H}$ implique la $J$\propreté de la fonctionnelle K-énergie. Ceci confirme une direction de la conjecture de Tian. En utilisant cette propreté nous montrons qu'un fibré ample $(X,L)$ admettant une métrique csck dans $c_1(L)$ est K-polystable. Quand le groupe d'automorphisme est fini le résultat de propreté, combiné avec un résultat récent de Boucksom-Hisamoto-Jonsson, implique aussi que  $(X,L)$ est uniformément K-stable.

Let $(X,\omega)$ be a compact Kähler manifold and $\mathcal H$ the space of Kähler metrics cohomologous to $\omega$. If a csck metric exists in $\mathcal H$, we show that all finite energy minimizers of the extended K-energy are smooth csck metrics, partially confirming a conjecture of Y.A. Rubinstein and the second author. As an immediate application, we obtain that the existence of a csck metric in $\mathcal H$ implies J-properness of the K-energy, thus confirming one direction of a conjecture of Tian. Exploiting this properness result we prove that an ample line bundle $(X,L)$ admitting a csck metric in $c_1(L)$ is $K$-polystable. When the automorphism group is finite, the properness result, combined with a result of Boucksom-Hisamoto-Jonsson, also implies that  $(X,L)$ is uniformly K-stable.

K-énergie, minimiseur, métrique de Kähler, K-stabilité
K-energy, minimizer, Kähler metric, energy properness, K-stability
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